Metodo de Construcción y Calculo de Volumenes
Método de construcción de Volúmenes
VOLÚMENES
Y POLIEDROS
1.
CONCEPTOS
Un volumen,
cuerpo o sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por un
número
determinado de caras o superficies, que pueden ser planas o curvas. A
diferencia de las figuras
planas,
los volúmenes son tridimensionales.
En
general, Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:
• Los poliedros
(cuerpos planos), que son cuerpos geométricos limitados por polígonos.
• Los cuerpos
redondos, que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por
figuras geométricas curvas; como por
ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
2.
POLIEDROS.
En un
poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres
elementos
notables principales:
• Sus caras,
que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen
forma de
polígonos.
• Sus aristas,
que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
• Sus vértices,
que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o
más
aristas.
Asimismo,
también podemos hablar de:
• Sus diagonales,
que son los segmentos que unen vértices no consecutivos
del
poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista). Hay que
distinguir
entre las diagonales del poliedro y las de los polígonos que forman sus caras.
PRINCIPALES
TIPOS DE POLIEDROS
REGULARES
Todas sus
caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice
concurre igual número de caras
Tetraedro
Tiene
cuatro caras en forma de triángulos
equilátero y cuatro vértices,
en cada uno de los cuales concurren
tres caras
Cubo
o Hexaedro
Sus seis
caras son cuadrados
Octaedro
Ocho caras
con forma de triángulo equilátero,
aparece como dos pirámides
unidas por sus base.
veinte
caras con forma de triángulo
equilátero, que tiene un eje plano
hexagonal.
Dodecaedro
Doce caras
con forma de Pentágono.
IRREGULARES
Sus caras
son diferentes polígonos
Poliedro
compuesto por caras laterales
rectangulares (pueden ser cuadradas);
y bases con forma de triángulo,
cuadrado o polígono regular.
Prisma
oblicuo
Es un
poliedro cuya única base es un
polígono regular y cuyas caras laterales
son triángulos que
coinciden
en un punto común llamado
vértice, que se encuentra en la
misma perpendicular a la base que pasa
por su centro.
Pirámide
truncada
Poliedro limitado
por la base de la pirámide y un
plano que corta a todas las
aristas laterales. Si el plano es
paralelo al plano de la base se dice
que el tronco es de bases paralelas.
2.
CUERPOS REDONDOS
Los
cuerpos redondos no están limitados por polígonos. Dentro de los cuerpos hay
que destacar
los
volúmenes o sólidos de revolución, que son los generados al hacer girar una
figura plana alrededor
de un eje.
CILINDRO
• Un cilindro
es el cuerpo de revolución generado por un rectángulo al girar alrededor de
uno de sus
lados.
• Está
compuesto por dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente
a
un
rectángulo.
• Las
rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se
llaman
generatrices.
CONO
• Un cono
es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar
alrededor
de uno de sus catetos.
• La base
es un círculo y la distancia entre la base y el vértice se llama altura del
cono.
• La
hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre
el cual se gira
es la altura,
h.
• El otro
cateto es el radio, r, de la base.
ESFERA
• Se llama
superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio
que
equidistan
de uno interior llamado centro
• Se llama
esfera a una superficie esférica y su interior.
• Se llama
superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio
que
equidistan
de uno interior llamado centro.
• Se llama
esfera a una superficie esférica y su interior.
3.
DESARROLLO DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS PRINCIPALES
Si en un
poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una
sola
pieza y la
extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro. El diagrama o
desarrollo de un
poliedro,
consiste, por lo tanto, en extender todos sus planos, unidos por un lado común,
sobre un
mismo
plano.
El
desarrollo de un volumen tiene dos utilidades fundamentales, ya que permite
obtener un
diseño
plano de los diferentes cuerpos geométricos, facilitando tanto su construcción
tridimensional en
materiales
apropiados (cartulina, chapa metálica o madera laminar), como el cálculo de la
superficie
total que
ocupan las caras que lo determinan.
Poliedros
regulares
Prismas
Pirámides
Cilindro
Método Para Calculo de Volúmenes
1.- El ortoedro
Área total = 2ac + 2bc + 2ab
Volumen = a · b · c
2.- El cubo
Área Total = 6· a 2
Volumen = a3
3.- El prisma
Área lateral = Producto del perímetro
de la base por la altura.
AL = p . h
Área Total = Área lateral más el área de las dos
bases.
AT = AL + 2 · Área de la base
Volumen = Área de la base por su altura
V = AB · h
4.- La pirámide
Área lateral = Producto del perímetro
de la base por la apotema de la pirámide, partido todo por dos.
=AL
Área total = Área lateral + Área de la base
AT = AL + AB
Volumen = Un tercio del área de la base por altura
=V
5.- El cilindro
Área lateral = Longitud de la
circunferencia base por la generatriz.
AL = 2· p· r · g
Área total = Área lateral más el área de
las dos bases.
AT = 2·
p · r (g + r)
Volumen =
Producto del área de la base por la altura.
V = p . r2 . h
6.- El cono
Área lateral = Producto del radio por la generatriz y por p.
AL = p . r . g
Área Total =
Área lateral más el área de la base.
AT = p . r . (g + r)
Volumen del Cono
= Un tercio del área de la base por la altura.
V=
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